Surface Area and Volume
Class 10 Mathematics - Complete Chapter Notes
Willer Academy
Chapter Overview
This chapter covers the calculation of surface areas and volumes of various solid shapes. Understanding these concepts is essential for real-world applications in architecture, packaging, manufacturing, and more. We'll explore formulas in English and conduct experiments in Hindi to enhance your understanding.
Cuboid
A cuboid is a 3D shape with six rectangular faces.
Formulas:
Volume: V = l × b × h
Total Surface Area: TSA = 2(lb + bh + hl)
Lateral Surface Area: LSA = 2h(l + b)
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक माचिस की डिब्बी लें। इसकी लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊंचाई (h) मापें। अब एक बड़ा कार्टन बॉक्स लें और उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई मापें। दोनों के आयतन की तुलना करें। आप पाएंगे कि बड़े बॉक्स का आयतन छोटे बॉक्स के आयतन से कई गुना अधिक है।
Example:
A cuboid has length 5cm, breadth 4cm, and height 3cm.
Volume = 5 × 4 × 3 = 60 cm³
TSA = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 cm²
Cube
A cube is a special cuboid with all sides equal.
Formulas:
Volume: V = a³
Total Surface Area: TSA = 6a²
Lateral Surface Area: LSA = 4a²
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक पासा लें जो एक घन का उदाहरण है। एक रबर की डाइस लें और उसकी एक भुजा (a) मापें। अब इसके आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें। फिर एक बड़ा घन (जैसे कोई डिब्बा) लें और उसके लिए भी यही गणना करें। आप देखेंगे कि भुजा दोगुनी करने पर आयतन 8 गुना और पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना हो जाता है।
Example:
A cube has side 4cm.
Volume = 4³ = 64 cm³
TSA = 6 × 4² = 96 cm²
Cylinder
A cylinder has two parallel circular bases connected by a curved surface.
Formulas:
Volume: V = πr²h
Total Surface Area: TSA = 2πr(r + h)
Curved Surface Area: CSA = 2πrh
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक सिलेंडर के आकार का बर्तन (जैसे नल का पाइप या कोई डब्बा) लें। एक धागा लेकर इसके वक्र पृष्ठ के चारों ओर लपेटें। धागे की लंबाई मापें - यह वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुमान देगा। अब इसमें पानी भरकर इसके आयतन का अनुमान लगाएं। फिर सूत्रों से गणना करके तुलना करें।
Example:
A cylinder has radius 7cm and height 10cm.
Volume = (22/7) × 7² × 10 = 1540 cm³
CSA = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²
Cone
A cone has a circular base and a pointed top called the apex.
Formulas:
Volume: V = (1/3)πr²h
Total Surface Area: TSA = πr(l + r)
Curved Surface Area: CSA = πrl
Where l = √(r² + h²) is the slant height
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक शंकु के आकार की वस्तु जैसे बर्थडे कैप लें। एक कागज लेकर उससे एक शंकु बनाएं। अब इसे खोलकर देखें कि यह एक वृत्त का त्रिज्यखंड (sector) बनाता है। इसकी त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊंचाई (l) के बराबर होगी। इस प्रयोग से आप शंकु के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल के सूत्र को बेहतर समझ सकते हैं।
Example:
A cone has radius 3cm and height 4cm.
Slant height l = √(3² + 4²) = 5cm
Volume = (1/3) × (22/7) × 3² × 4 = 37.71 cm³
CSA = (22/7) × 3 × 5 = 47.14 cm²
Sphere
A sphere is a perfectly round geometrical object in 3D space.
Formulas:
Volume: V = (4/3)πr³
Surface Area: SA = 4πr²
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक गेंद लें और उसकी त्रिज्या मापें। अब एक बाल्टी लें और उसमें पानी भरें। गेंद को पूरी तरह पानी में डुबोएं और विस्थापित पानी की मात्रा मापें। यह गेंद के आयतन के बराबर होगी। इस प्रयोग से आर्किमिडीज के सिद्धांत को समझ सकते हैं और गोले के आयतन के सूत्र को सत्यापित कर सकते हैं।
Example:
A sphere has radius 7cm.
Volume = (4/3) × (22/7) × 7³ = 1437.33 cm³
Surface Area = 4 × (22/7) × 7² = 616 cm²
Hemisphere
A hemisphere is half of a sphere.
Formulas:
Volume: V = (2/3)πr³
Total Surface Area: TSA = 3πr²
Curved Surface Area: CSA = 2πr²
Real-life Experiment (हिंदी में):
एक अर्धगोलाकार कटोरा लें। इसे आटे या रेत से भरें और फिर इस सामग्री को एक बेलनाकार बर्तन में डालें जिसकी त्रिज्या अर्धगोले की त्रिज्या के बराबर हो और ऊंचाई अर्धगोले की त्रिज्या के बराबर हो। आप देखेंगे कि अर्धगोले की सामग्री बेलन के 2/3 भाग को भरती है। यह अर्धगोले के आयतन के सूत्र को प्रमाणित करता है।
Example:
A hemisphere has radius 7cm.
Volume = (2/3) × (22/7) × 7³ = 718.67 cm³
TSA = 3 × (22/7) × 7² = 462 cm²
Key Points to Remember
- Surface Area is measured in square units (cm², m², etc.)
- Volume is measured in cubic units (cm³, m³, etc.)
- When converting units, remember: 1 m = 100 cm, so 1 m² = 10,000 cm² and 1 m³ = 1,000,000 cm³
- For cylinders, cones and spheres, always use the same unit for radius and height
- The lateral surface area of a solid excludes the area of its bases
- The volume of a cone is exactly one-third the volume of a cylinder with the same base and height
- The volume of a sphere is two-thirds the volume of a cylinder that circumscribes it
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