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अध्याय सूची

• संख्या प्रणाली
• संख्याओं के प्रकार
• मूल संक्रियाएँ
• भिन्न
• दशमलव
• बीजगणित के मूल
• रैखिक समीकरण
• द्विघात समीकरण
• अभ्यास समस्याएँ

🔢 संख्या प्रणाली

संख्या प्रणाली क्या है?

संख्या प्रणाली वह प्रणाली है जिसके द्वारा हम संख्याओं को व्यक्त करते हैं। यह विभिन्न प्रकार की संख्याओं और उनके गुणों का अध्ययन करती है।

संख्या प्रणाली में विभिन्न प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं जैसे प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ।

📊 संख्याओं के प्रकार

प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)

गिनती की संख्याएँ जैसे 1, 2, 3, 4, ... प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें N से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: 5, 12, 100, 256 आदि प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

प्राकृतिक संख्याओं में शून्य को मिलाने पर प्राप्त संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें W से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, ... पूर्ण संख्याएँ हैं।

पूर्णांक (Integers)

सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं को पूर्णांक कहते हैं। इन्हें Z से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: -5, -2, 0, 3, 7 आदि पूर्णांक हैं।

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें Q से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: 2/3, -4/5, 7, 0.25 (जो 1/4 के बराबर है) आदि परिमेय संख्याएँ हैं।

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।

उदाहरण: √2, π, e आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याएँ कहलाता है। इन्हें R से दर्शाया जाता है।

संख्या प्रकार	प्रतीक	परिभाषा	उदाहरण
प्राकृतिक संख्याएँ	N	गिनती की संख्याएँ	1, 2, 3, 4, ...
पूर्ण संख्याएँ	W	प्राकृतिक संख्याएँ + 0	0, 1, 2, 3, ...
पूर्णांक	Z	धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ	..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
परिमेय संख्याएँ	Q	p/q के रूप की संख्याएँ	2/3, -4/5, 0.6
अपरिमेय संख्याएँ	-	p/q के रूप में न लिखी जा सकने वाली संख्याएँ	√2, π, e
वास्तविक संख्याएँ	R	परिमेय + अपरिमेय संख्याएँ	सभी संख्याएँ

➕ मूल संक्रियाएँ

जोड़ (Addition)

दो या दो से अधिक संख्याओं को मिलाना जोड़ कहलाता है।

सूत्र: a + b = c

उदाहरण: 5 + 3 = 8

घटाना (Subtraction)

एक संख्या से दूसरी संख्या को निकालना घटाना कहलाता है।

सूत्र: a - b = c

उदाहरण: 10 - 4 = 6

गुणा (Multiplication)

एक संख्या को दूसरी संख्या से कई बार जोड़ना गुणा कहलाता है।

सूत्र: a × b = c

उदाहरण: 6 × 4 = 24

भाग (Division)

एक संख्या को दूसरी संख्या में बराबर-बराबर बाँटना भाग कहलाता है।

सूत्र: a ÷ b = c

उदाहरण: 15 ÷ 3 = 5

½ भिन्न (Fractions)

भिन्न क्या है?

भिन्न एक संख्या है जो किसी पूर्ण के भाग को दर्शाती है। इसे a/b के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a अंश (numerator) और b हर (denominator) है।

भिन्न के प्रकार

• उचित भिन्न (Proper Fraction): जब अंश हर से छोटा हो। उदाहरण: 2/3, 5/7
• अनुचित भिन्न (Improper Fraction): जब अंश हर से बड़ा या बराबर हो। उदाहरण: 7/4, 9/9
• मिश्र भिन्न (Mixed Fraction): जब एक पूर्ण संख्या और भिन्न का संयोजन हो। उदाहरण: 2 1/3, 5 3/4

भिन्नों का जोड़ और घटाना

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने/घटाने के लिए अंशों को जोड़ें/घटाएँ और हर को समान रखें।

a/b + c/b = (a+c)/b

विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ने/घटाने के लिए पहले हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।

भिन्नों का गुणा और भाग

भिन्नों का गुणा करने के लिए अंशों का गुणा करें और हरों का गुणा करें।

(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)

भिन्नों का भाग करने के लिए पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें।

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d)/(b×c)

𝑥 बीजगणित के मूल

बीजगणित क्या है?

बीजगणित गणित की वह शाखा है जिसमें संख्याओं के स्थान पर अक्षरों और प्रतीकों का प्रयोग किया जाता है।

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

बीजीय व्यंजक संख्याओं, चरों और संक्रियाओं का संयोजन होता है।

उदाहरण: 3x + 2y - 5, 2a² - 3ab + b²

बीजीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

कुछ महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a + b)(a - b)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

📈 रैखिक समीकरण (Linear Equations)

रैखिक समीकरण क्या है?

वह समीकरण जिसमें चर की उच्चतम घात 1 हो, रैखिक समीकरण कहलाता है।

उदाहरण: 2x + 3 = 7, 3y - 5 = 2y + 1

रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि

1. समीकरण के दोनों ओर समान संख्या जोड़ें या घटाएँ
2. समीकरण के दोनों ओर समान संख्या से गुणा या भाग करें
3. चर को एक ओर और अचर को दूसरी ओर ले जाएँ
4. चर का मान ज्ञात करें

उदाहरण: 2x + 5 = 13 को हल करें

2x + 5 - 5 = 13 - 5 (दोनों ओर से 5 घटाने पर)

2x = 8

x = 8/2 = 4

𝑥² द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

द्विघात समीकरण क्या है?

वह समीकरण जिसमें चर की उच्चतम घात 2 हो, द्विघात समीकरण कहलाता है।

उदाहरण: x² - 5x + 6 = 0, 2y² + 3y - 2 = 0

द्विघात समीकरण का मानक रूप

ax² + bx + c = 0

जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ

• गुणनखंड विधि (Factorization Method): समीकरण को गुणनखंडों में विभाजित करके हल करना
• पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method): समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना
• द्विघात सूत्र (Quadratic Formula): सूत्र का प्रयोग करके हल करना

द्विघात सूत्र

सूत्र: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

जहाँ b² - 4ac विविक्तकर (Discriminant) कहलाता है और इसे D से दर्शाया जाता है।

• यदि D > 0, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे
• यदि D = 0, तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होंगे
• यदि D < 0, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे

✍️ अभ्यास समस्याएँ

संख्या प्रणाली

1. निम्नलिखित संख्याओं को वर्गीकृत करें: √16, 0.333..., π, -5, 2/3
2. 3/5 और 4/7 का योग ज्ञात कीजिए।
3. 0.125 को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

बीजगणित

1. समीकरण 3x - 7 = 8 को हल कीजिए।
2. (2x + 3)(x - 4) को विस्तारित कीजिए।
3. यदि a + b = 5 और ab = 6, तो a² + b² का मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण

1. समीकरण x² - 5x + 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।
2. समीकरण 2x² + 3x - 2 = 0 को द्विघात सूत्र से हल कीजिए।
3. यदि द्विघात समीकरण के मूल 2 और 3 हैं, तो समीकरण ज्ञात कीजिए।

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